PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

QUESTÕES

Petrobras – Eng. Produção

2010

62

Considere o problema abaixo de Programação Linear.

Minimize: Z = α.X1 + β.X2

Sujeito a:

Para quais valores de α e β o problema apresenta soluções múltiplas?

(A) α = 2 e β = 4           (B) α = 2 e β = 1           (C) α = 1 e β = 1           (D) α = 2 e β = 3           (E) α = 3 e β = 3

Resolução

Programação linear se baseia em linhas, isto é, em retas. A função objetivo e as restrições são retas. Para haver múltiplas soluções, a função objetivo deve ser paralela a alguma das restrições (sempre se lembrar disso, cai bastante). E como é o paralelismo de retas? Quando seus coeficientes são múltiplos um do outro. Neste caso, só temos uma reta de restrição X₁ + 2X₂ > 9. Então, α e β devem ser múltiplos dos coeficientes da restrição (1 e 2), podem ser 1 e 2 (se multiplicados por 1), 2 e 4 (quando multiplicados por 2), 3 e 6 (se vezes 3) e assim por diante. A alternativa que apresenta múltiplos é alt A.

2011

67

Considere o seguinte problema de Programação Linear.

Min Z = 2x1− x2

Sujeito a

−x1 + x2 ≤ 3

2x1 − x2 ≤ 6

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Qual é a solução ótima?

(A) x1 = 0 e x2 = 1        (B) x1 = 0 e x2 = 3        (C) x1 = 1 e x2 = 0        (D) x1 = 1 e x2 = 4        (E ) x1 = 3 e x2 = 0

Resolução

A melhor maneira de resolver é substituindo cada uma das alternativas e achar a solução ótima. Detalhe que ele quer MINIMIZAR o Z, então, a solução ótima é a menor. Letra A (0,1) Z= 2.0-1= -1. Letra B (0,3) Z= 2.0-3= -3. Letra C (1,0) Z= 2.1-0= 2. Letra D (1,4) Z= 2.1-4 = -2. Letra E (3,0) Z = 2.3-0 = 6. O menor valor de Z é -3 da alt B.

68

Considere o problema abaixo de Programação Linear.

Maximize: Z = −3*X1 + 6*X2

Sujeito a:

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

5* X1 + 7*X2 ≤ 35

α* X1 + 2*X2 ≤ 2

Para qual valor de α o problema apresenta soluções múltiplas?

(A) α = −1                    (B) α = −0,5                  (C) α = 0                      (D) α = 0,5                    (E) α = 1

Resolução

Novamente “soluções múltiplas”. Soluções múltiplas acontecem quando a reta da função objetivo é paralela a reta de alguma das restrições. O paralelismo entre retas se caracteriza pela multiplicação dos coeficientes. A questão pede o valor de α, então essa equação é múltipla da função objetivo. Para o 6 de X₂ “virar” 2 na restrição, foi dividida por 3. Fazendo o mesmo para o coeficiente -3 de X₁: α= -3/3 = -1. Alt A.

2012

68

Considere o seguinte problema de programação linear:

Maximize: Z = 3x1 + 7x2 + 5x3

Sujeito a

x1 + x2 + x3≤5

2x1 + 3x2 + x3≤10

x1≥0

x2≥0

x3≥0

Qual o valor máximo que o coeficiente da função objetivo para a variável X1 pode assumir, sem alterar a solução ótima do problema de programação linear apresentado?

(A) 3                 (B) 4                 (C) 6                 (D) 7                 (E) 8

Resolução (dos comentários)

Na questão 68 não precisa usar o dual e não é através da proporção entre as variáveis.
Uma técnica utilizada e "zerar" a variável envolvida.
Fazendo x1=0
Z= 7X2 + 5X3
s.a
X2+x3<=5
3X2 + X3 <=10
Resolvendo pelo método gráfico, encontramos (2,5 , 2,5)
Então
Z= 3*0 + 7*2,5 + 5*2,5 = 30
Quando mudamos o valor do coeficiente de X1 na FO chega uma hora em que ficará mais vantajoso produzir apenas X1.
Zerando X2 e X3 (5,0,0)
30 = Alfa*5 + 7*0 + 5*0
Alfa = 6

69

Considere o seguinte problema de programação linear:

Maximize: Z = x1 + 4x2

Sujeito a

2x1 + 4x2≤20

−x1 + 2x2≤8

x1 + x2≤5

x1≥0

x2≥0

Verifica-se que o valor ótimo da função objetivo é

(A) 0                 (B) 9                 (C) 17               (D) 18               (E) 20

Resolução
(com a ajuda do passeconcurso)

Figura adaptada do blog.passeconcursos.com.br

Tem que fazer um gráfico com as três restrições, substituindo (1,0) e (0,1) em cada uma das restrições, aí encontra dois ponto para traçar cada reta. Ex: ao substituir (1,0) na restrição −x1 + 2x2=8, obtivemos (-8,0); ao substituir (0,1) na mesma restrição, obtivemos (0,4), com esses dois pontos, traçamos a reta. Repare que 2x1 + 4x2 é inútil.

Uma vez feito o gráfico, lembramos que a solução ótima é o vértice (seta vermelha apontando para o ponto) e para calcular o vértice (que é a intersecção de duas retas), resolvemos o sistema:

x1 + x2 = 5

−x1 + 2x2 = 8

X1 = 2/3 e X2 = 13/3 à esta é a solução ótima. Para calcular Z, basta substituir: Z= (2/3) + 4. (13/3) = 18. Alt D

Petrobras Distribuidora (a prova mais difícil de eng. de prod. que encontrei)

2011

63

De maneira geral, afirma-se que aos problemas de maximização de programação linear na forma-padrão, corresponde um problema de minimização denominado Problema Dual. Buscando obter as relações entre o Problema Primal e o Problema Dual, sabe-se que

(A) o número de restrições do Dual é igual ao número de restrições do Primal.

(B) o Dual do Primal é o Primal.

(C) a matriz dos coeficientes do Dual é a inversa da matriz dos coeficientes do Primal.

(D) se tanto o Primal quanto o Dual tiverem soluções compatíveis finitas, então existe uma solução ótima finita para cada um dos problemas, tal que o valor da função objetiva é igual para os dois problemas.

(E) se um dos problemas não tiver solução viável, então o outro terá soluções viáveis ou soluções ilimitadas.

Resolução

Não sei. Disseram nos comentário "primal e dual tem resposta iguais" Alt D.

IBGE

2009

54

O gráfico acima apresenta a solução gráfica de um problema de programação linear. Ele representa as quantidades máximas de produção de dois itens do portfólio de uma empresa. A linha A representa as restrições operacionais dos dois itens no departamento de montagem e a linha B, as restrições do departamento de embalagem da empresa. As regiões demarcadas entre as linhas tracejadas com

(A) R1 referem-se à capacidade viável dos dois itens produzidos na montagem e na embalagem.

(B) R2 referem-se à capacidade viável dos dois itens produzidos na montagem e na embalagem.

(C) R1 e R2 referem-se à capacidade mínina dos dois itens produzidos na na embalagem.

(D) R2 e R3 referem-se à capacidade mínina dos dois itens

produzidos na montagem.

(E) R4 referem-se à capacidade viável dos dois itens produzidos na montagem e na embalagem.

Resolução

O gráfico apresenta a parte viável (porque atende às restrições) e a parte inviável (tudo que não é viável, porque não atende a todas restrições). R2 é viável. R1 está dentro das restrições de montagem, mas fora das restrições de embalagem, então é inviável. R3 está dentro da embalagem, mas fora da montagem, também inviável. R4 está fora de tudo, inviável.Alt B.